Heidelberger Zahlengeschichten

Die Heidelberger Zahlengeschichten sind eine Aktion der Heidelberg Laureate Forum Foundation und der Klaus Tschira Stiftung, mit freundlicher Unterstützung des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach und der Bundesweiten Informatikwettbewerbe.


MatherätselMatherätsel 1

1715 starb der französische „Sonnenkönig“ Ludwig XIV. In dem von ihm provozierten Pfälzischen Erbfolgekrieg wurde das Heidelberger Schloss zerstört und nie wieder in Gänze restauriert.

Schreiben Sie die Zahl 1715 als Summe von möglichst wenigen Quadratzahlen!

Lösung Matherätsel 1

Wie viele Quadratzahlen braucht man mindestens?

Die Zahl 1715 kann nicht als Summe von weniger als drei Quadratzahlen geschrieben werden. Für die Lösung gibt es acht Möglichkeiten:

1715 = 3² + 5² + 41²
1715 = 7² + 21² + 35²
1715 = 1¹ + 25² + 33²
1715 = 5² + 13² + 39²
1715 = 5² + 27² + 31²
1715 = 11² + 15² + 37²
1715 = 15² + 23² + 31²
1715 = 19² + 25² + 27²

Lösungsweg:
Eine mögliche Lösung findet man zum Beispiel folgendermaßen:

Möglichkeit 1: Die Wurzel aus 1715 ist 41,4. Wir beginnen also mit 41² = 1681 und ziehen das von 1715 ab. Wir erhalten 34. Das schreibt man leicht als 25 + 9.

Möglichkeit 2: Wir verwenden die Primfaktorzerlegung 1715 = 7 x 7 x 7 x 5 = 7² x 35. Nun schreiben wir 35 = 25 + 9 + 1. Diese Gleichung können wir nun wieder mit 7² multiplizieren und erhalten 1715 = 7² x (5² + 3² + 1²) = (7×5)² + (7×3)² + (7×1)² = 35² + 21² + 7².

Nun müssen wir uns nur noch überlegen, dass man nicht mit weniger als drei Summanden auskommt. Da 1715 selbst keine Quadratzahl ist, müssen wir uns nur noch klarmachen, dass man 1715 nicht als Summe von zwei Quadratzahlen schreiben kann:

Teilt man eine Zahl durch 7, so bleibt als Rest immer eine der sieben Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 übrig. Quadriert man die Zahl, so quadriert sich auch der Rest, hierfür kommen also 0, 1, 4, 9, 16, 25 oder 36 in Frage; allerdings kann man diese Zahlen wieder durch 7 teilen und erhält so als mögliche Reste einer Quadratzahl 0, 1, 4, 2, 2, 4 oder 1. Jetzt sieht man, dass die Summe von zweien dieser Reste nur dann durch 7 teilbar ist, wenn beide Reste 0 sind. Die Summe von zwei Quadratzahlen kann also nur dann ohne Rest durch 7 teilbar sein, wenn bereits beide Quadratzahlen ohne Rest durch 7 teilbar sind.

Gäbe es also Zahlen a und b mit 1715 =7² x 35 = a² + b², so wären a² und b² beide durch 7 teilbar, und weil 7 eine Primzahl ist, müssten dann auch a und b durch 7 teilbar sein. Wir könnten die Gleichung dann durch 7² teilen, und könnten damit auch 35 als Summe von zwei Quadratzahlen schreiben. Das geht aber nicht: eine der beiden Quadratzahlen müsste größer als die Hälfte von 35 sein, also zwischen 17,5 und 35 liegen. Dafür kommt nur 25 in Frage. Aber 35 – 25 = 10 ist keine Quadratzahl.




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InformatikrätselInformatikrätsel 1


Marianne von Willemer war die letzte Liebe des Dichters Johann Wolfgang von Goethe, der mit seiner Muse Heidelberg mehrfach besuchte. An ihre Verbindung erinnert die im Heidelberger Schlossgarten angebrachte Goethe-Gedenktafel.

Weil Marianne verheiratet war, verabredete sich das Paar durch einen Geheimcode, bei dem die Vokale (A, E, I,
O, U) unverändert blieben, die Konsonanten aber durch den jeweils folgenden Konsonanten im Alphabet ersetzt
wurden. Z wurde dabei durch B ersetzt.

Wie lautete Goethes Geheimcode „HALB ACHT IM WALD“?

A) HELB ECHT OM WELD
B) JEMC EDJV ON XEMF
C) GAKZ ABGS IL VAKC
D) JAMC ADJV IN XAMF

Lösung Informatikrätsel 1

Die Antwort lautet…

…D

Der erste Buchstabe der Nachricht „H“ wird im Code durch den im Alphabet folgenden Konsonanten „J“ ersetzt (der nächste Buchstabe ist „I“, aber das ist kein Konsonant). Der zweite Buchstabe „A“ ist ein Vokal und bleibt unverändert. Im Geheimcode beginnt die Nachricht also mit „JA“. Dies ist nur in Antwort D der Fall. Auch sonst erfüllt Antwort D die Codierungsvorschrift. Bei Antwort A wurden die Vokale verändert und die Konsonanten nicht ersetzt. Bei Antwort B wurden die Konsonanten nach dem vorgegebenen Schema ersetzt, aber auch die Vokale verändert. Bei Antwort C wurden die Konsonanten durch ihre vorhergehenden ersetzt.

Das ist Informatik!

Die Informatik benutzt zur Verschlüsselung von Nachrichten mathematische Methoden auf Bit-Ebene. Das ist unabhängig von der Art der Nachrichten: Dokument, Fotografie, Telefongespräch, Datenbank, alles geht. Die Methoden, eine solche Verschlüsselung zu knacken (Kryptoanalyse), sind ebenfalls mathematisch und so kompliziert und rechenaufwändig, dass nur sehr leistungsfähige Computer eine Chance haben. Menschen nicht. Es gibt auch Methoden der Verschlüsselung, bei denen anderes Wissen eine Rolle spielt. Gern kommen sie in Kriminalgeschichten vor und haben meist etwas mit natürlicher Sprache zu tun. Um sie zu knacken, muss jemand „auf die richtige Idee“ kommen.




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Weitere Matherätsel:

Matherätsel 2Matherätsel 2


In den Spiegel des Heidelberger Brückenaffen soll ein kreisrundes Mosaik eingesetzt werden. Mit den Farben Rot, Gelb, Grün und Blau soll dieses Muster ausgefüllt werden.

Färben Sie das Mosaik so, dass benachbarte Flächen unterschiedliche Farben enthalten!

mosaik_web

Wie viele Flächen haben Sie jeweils rot, gelb, grün und blau gefärbt?

Lösung Matherätsel 2

Man muss sich der Lösung annähern…

Bild-1Bild-2

Bei den beiden abgebildeten Lösungen sind 6 Flächen gelb, 4 Flächen grün und je 5 Flächen rot bzw. blau gefärbt. Natürlich kann man die Farben auch anders verteilen (zum Beispiel alle roten Felder blau und alle blauen rot färben).

Bild-3

Lösungsweg:
Wir bezeichnen die Flächen des Mosaiks wie im Bild oben gezeigt mit Buchstaben. Die Flächen A, B, C und D berühren sich alle gegenseitig. Sie müssen also in vier verschiedenen Farben eingefärbt werden. Wir färben beispielsweise A rot, B grün, C blau und D gelb.

Bild-4

Nun ist klar, welche Farben die Flächen E, F, G, H und K erhalten müssen: E grenzt an B, D und C, muss also rot gefärbt werden. F grenzt an B, C und E, muss also gelb werden. G grenzt an C, E und F, muss also grün werden. H grenzt an E, F und G, muss also blau werden. K grenzt an A,B und C, muss also gelb werden.

Bild-5

Die Fläche L berührt K und B, kann also nur rot oder blau sein. Wir unterscheiden nun diese beiden Fälle:

Fall 1:

Bild-6
L ist rot. Dann muss M gelb sein, da diese Fläche an B, C und L angrenzt. Nun müssen wir etwas komplizierter argumentieren: Die Flächen P und R grenzen beide an rot (L) und an gelb (K bzw. M) an, können also nur blau oder grün sein. Da sie sich gegenseitig berühren, haben sie nicht die gleiche Farbe. Daher muss die Fläche N rot sein, denn sie grenzt an M (gelb) und P bzw. R (blau bzw. grün).

Bild-7

Jetzt sehen wir schnell, dass O grün sein muss (grenzt an C, K und N). Dann ist R blau (grenzt an K, N und O) und P ist grün (grenzt an M, N und R). Alle nun noch weiß gebliebenen Flächen haben jeweils drei Nachbarn in verschiedenen Farben, dort bleibt also ebenfalls noch jeweils eine Farbe übrig um die Färbung zu vervollständigen.

Bild-8

Fall 2:

Bild-9

L ist blau. Dann grenzen sowohl O als auch R an gelb und blau, sind also rot und grün. Da N an beide und an C grenzt, bleibt für N nur noch gelb. Dann grenzt M an grün, blau und gelb, muss also rot werden. Nun muss man P grün färben, dann R rot, und damit muss O ebenfalls grün werden. Füllt man noch die verbliebenen weißen Flächen, so erhält man die zweite Lösung.


Matherätsel 3Matherätsel 3


Aus dem Großen Fass im Heidelberger Schloss wird ein Löffel Wein in ein (nicht volles) Glas Tee gegossen und verrührt. Danach wird aus dieser jetzt gemischten Flüssigkeit ein Löffel zurück in das Fass gefüllt.

In beiden Behältern befindet sich also ein kleiner Teil einer fremden Flüssigkeit (im Wein ist auch Tee und im Tee ist auch Wein).

In welchem Behälter ist das Volumen der Fremdflüssigkeit größer?

Lösung Matherätsel 3

Die Antwort lautet:

Am Ende befindet sich genau gleich viel Wein im Tee wie Tee im Wein.

Erklärung: Ein Löffel Wein wird aus dem Weinfass genommen und ein Teil Wein kommt wieder zurück. Das heißt, am Ende fehlt im Weinfass ein ganzer Löffel Wein weniger einem Teil (der zurückkommt). Beim Zurückgießen füllt man den Löffel mit Tee und einem Teil Wein (definiert durch das Gemisch). Das heißt, es fehlt dem Glas Tee genau ein Löffel Tee weniger einem Teil – derselbe Teil, der dem Weinfass fehlt, da es ja der Teil ist, der wieder zurückgegossen wird. Das heißt, in beiden Gefäßen fehlt dieselbe Menge.

Interessant ist, dass weder die Größe des Fasses noch des Glases, noch des Löffels eine Rolle spielen. Auch nicht, wie gut man Wein und Tee mischt.

löffel


Matherätsel 4Matherätsel 4


Der Name des durch Heidelberg fließenden Flusses Neckar ist keltischen Ursprungs und bedeutet heftiger, böser, schneller Fluss.

Ein Frachtschiff benötigt für die Fahrt von dem ca. 50 km entfernten Neckargerach nach Heidelberg zwei Stunden. Zurück benötigt es vier Stunden.
(Schleusen spielen in diesem Rätsel keine Rolle.)

Wie schnell fließt der Neckar im Durchschnitt?

Lösung Matherätsel 4

Der Neckar fließt mit….

… 6,25 km/h.

Lösungsweg:

Wir verwenden die Buchstaben s für die Geschwindigkeit des Schiffes, und r für die Geschwindigkeit des Neckars.

Flussabwärts bewegt sich das Schiff dann mit der Geschwindigkeit s + r. Die 50 km flussabwärts werden in 2 Stunden gefahren, das sind 25 km in einer Stunde. Es gilt also: s + r = 25 km/h.

Flussaufwärts bewegt sich das Schiff dagegen mit der Geschwindigkeit s – r. Die 50 km flussaufwärts werden in 4 Stunden gefahren, das sind 12,5 km in einer Stunde. Es gilt also: s – r = 12,5 km/h.

Zieht man die zweite Gleichung von der ersten ab, so erhält man (s+r)-(s-r)= 25 km/h – 12,5 km/h, also 2r = 12,5 km/h. Nun teilt man auf beiden Seiten durch zwei und erhält die mittlere Geschwindigkeit des Neckars:
r = 12,5 km/h / 2 = 6,25 km/h.


Matherätsel 5Matherätsel 5

Professor Pfiffig plant, bei einer Wissenschaftskonferenz den Studierenden Visitenkarten mitzugeben. Er hat hierfür 8 Papierbögen in den Größen DIN A1 bis DIN A8, der Standardgröße für Papierbögen. Diese beginnt mit A0 (1189 mm × 841 mm) und wird dann halbiert, so dass sich aus A0 zweimal A1 ergibt; aus einem A1 zweimal A2 usw.

Prof. Pfiffig möchte 19 Visitenkarten in A8 herstellen und dabei keine Papierreste erzeugen.

Welche Bögen verwendet er?

Mathe_5_Detail

A) A4, A7 und A8
B) A3 und A7
C) A5, A6 und A8
D) A4 und A6

Lösung Matherätsel 5

Die richtige Antwort lautet…

… A.

A) Ein A4-Bogen ergibt 16 Visitenkarten, ein A7-Bogen ergibt 2 Visitenkarten und ein A8-Bogen ergibt 1 Visitenkarte, zusammen sind das 19 Visitenkarten.

B) Ein A3-Bogen ergibt 32 Visitenkarten, das ist schon zu viel, es kämen noch zwei für den A7-Bogen hinzu.

C) Ein A5-Bogen ergibt 8 Visitenkarten, ein A6-Bogen ergibt 4 Visitenkarten und ein A8-Bogen ergibt 1 Visitenkarte. Das sind zusammen nur 13 Visitenkarten.

D) Ein A4-Bogen ergibt 16 Visitenkarten und ein A6-Bogen ergibt 4 Visitenkarten. Das sind zusammen 20 Visitenkarten.


Weitere Informatikrätsel:

Informatikrätsel 2Informatikrätsel 2


In einer Heidelberger Weinstube wettet der Wirt mit seinem Gast um die Zeche: Der Gast soll diese fünf leeren Gläser richtig herum stellen.

gläser

Allerdings muss der Gast mit jedem Spielzug genau drei Gläser umdrehen.

Wie viele Spielzüge benötigt der Gast?

Lösung Informatikrätsel 2

Der Gast braucht…

…3 Spielzüge.

gläser_lsg_1

gläser_lsg_2

gläser_lsg_3

gläser_lsg_4

Das ist Informatik!

Der Versuch, ein solches Problem durch wildes Herumprobieren (trial and error) zu lösen, hilft nicht bei der Frage, wie viele Spielzüge man mindestens braucht. Probiert man dagegen alle Spielzug-Möglichkeiten systematisch durch (brute force), bekommt man zwar garantiert die Lösung – es könnte aber sehr lange dauern, wenn es viele Möglichkeiten sind. Gelingt es aber, das Problem auf sein Wesentliches zu reduzieren, ist die Lösung oft direkt zu sehen. Hier ist das Wesentliche, wie man unabhängig von einzelnen Gläsern am einfachsten vom Zustand “4 richtig” zum Zustand “2 richtig” kommt. Menschen mit “Durchblick” sind in der Informatik sehr gefragt.


Informatikrätsel 3Informatikrätsel 3


Heidelberger Forscher haben einen Roboter programmiert, der durch ein senkrecht stehendes Labyrinth läuft und dabei von einer Plattform auf die darunter liegende fällt. Nachdem er dort gelandet ist, läuft er in die andere Richtung.

In welchem Fach landet der Roboter?

roboter

Lösung Informatikrätsel 3

Der Roboter landet in…

… C.

Das ist Informatik!

Der Roboter befolgt eine einfache Vorschrift, die seinen Weg zum Ziel beschreibt. Solche Vorschriften – oder auch ganze Folgen von Vorschriften – werden in der Informatik Algorithmen genannt. Algorithmen sind aber nicht immer so einfach wie hier, sondern können ganz schön kompliziert aussehen. Es ist aber nicht so, dass man mit komplizierteren Algorithmen im Allgemeinen auch kompliziertere Probleme lösen kann. Im Gegenteil gelten in der Informatik einfache Algorithmen für komplizierte Probleme als besonders elegant. Algorithmen nachvollziehen und vor allem selbst ausdenken und programmieren zu können ist eine wichtige Fähigkeit, die Informatikerinnen und Informatiker beherrschen müssen.


Informatikrätsel 4Informatikrätsel 4


Die Heidelberger ProfessorInnen „Schlau“, „Klug“, „Pfiffig“ und „Weise“ haben bei ihrer Kleiderwahl zwei Regeln:

– Hut in Lieblingsfarbe
– Hemd in anderer Farbe

Weil sie die Hüte gerade getauscht haben, trägt jeder einen Hut, der nicht die Lieblingsfarbe hat.

professoren

Wer trägt normalerweise den grünen Hut?

Lösung Informatikrätsel 4

Auf die Lösung kommt man, wenn man sieht, dass…

… Prof. Pfiffig und Prof. Weise jetzt einen blauen Hut tragen. Also trugen vorher Prof. Schlau und Prof. Klug die blauen Hüte. Der rote Hut konnte nicht von Prof. Weise getragen worden sein, weil sie ein rotes Hemd trägt. Also trug Prof. Pfiffig den roten Hut und Prof. Weise musste den restlichen grünen Hut getragen haben.

Das ist Informatik!

Es gibt viele Arten des Denkens. Eine ist das “klassisch logische Schlussfolgern” (kurz “Schließen”). Dabei werden als wahr angenommene Fakten (Prämissen) nach logischen Regeln zu weiteren als wahr anzunehmenden Fakten verknüpft. Standardbeispiel: Aus den Prämissen “Alle Menschen sind sterblich.” und “Sokrates ist ein Mensch.” darf man schließen “Also ist Sokrates sterblich.” In der Informatik braucht man das Schließen beim Programmieren. Vor allem, wenn ein Programm einen Fehler macht und man die Stellen finden muss, die ihn verursachen. Im alltäglichen Leben schützt das Schließen vor Dummheiten aller Art. Zwar gibt es kein Schulfach “Denken”, aber die Informatik bietet das Üben klassisch logischen Schlussfolgerns und weiteres Nützliches zum Thema Denken an.


Informatikrätsel 5Informatikrätsel 5


Ein großer und ein kleiner Student bepflanzen die Neckarwiese mit Blumen. Der Kleinere von beiden hat kürzere Arme und Beine. Seine Blumen stehen deswegen näher und in kürzerem Abstand zueinander. Sie beginnen, Rücken an Rücken zu pflanzen, und beachten dabei die von Professor Weise vorgeschlagenen Regeln:

– pflanze eine Blume auf deiner rechten Seite
– gehe einen Schritt vorwärts
– pflanze eine Blume auf deiner linken Seite
– gehe einen Schritt vorwärts

Wie sieht die Wiese am Ende aus?

blumen

Lösung Informatikrätsel 5

Am Ende sieht die Wiese aus wie Feld…

…A.

Antwort B ist falsch, weil beide Studenten zuerst auf der rechten Seite eine Blume pflanzen müssen. Hier ist aber die erste Blume jeweils auf der linken Seite.
In Antwort C hat der kleine Student mit der linken Seite begonnen. Das war falsch.
In Antwort D haben beide Studenten dieselbe Schrittlänge. Das ist falsch.

Das ist Informatik!

In der Robotik werden Algorithmen von Maschinen ausgeführt, die bestimmte physische Merkmale haben. Programmentwickler müssen das berücksichtigen. Unterschiedliche Maschinen können sich unterschiedlich bewegen, auch wenn sie durch exakt dasselbe Programm gesteuert werden.